将⊙C绕点A按逆时针方向旋转360°，在这个过程中，⊙O和⊙C的圆心距的范围为：3-2≤圆心距≤5，即1≤圆心距≤5
根据图形，得R=2，r=1，
则R+r=3，R-r=1，
则在这个过程中，⊙O和⊙C外切2次，内切3次，共相切3次．
故答案为：5．