(1)由于抛物线的图象经过B(-2,0),C(4,0)两点,则有:
-4-2b+c=0
-16+4b+c=0
解得 b=2 c=8;
故抛物线的解析式为:y=-x²+2x+8.
(2)易知抛物线的对称轴为:x=1;
设点T(1,m),
则直线BT的斜率:k1=m/3 ,直线CT的斜率:k2=m/-3 ;
若⊙B与CT相切,则有:
m/3*m/-3=-1
解得m=±3;
故T(1,3)或(1,-3)
(3)
以E为圆心,BC长为直径作圆,交抛物线于M、N两点;
由圆周角定理知:∠BMC=∠BNC=90°,
此时ME=NE= BC/2=3;
若∠BPC是锐角,那么点P必在M、N之间的抛物线图象上,故PE>3;
易知抛物线的顶点坐标为:(1,9),
当点P运动到抛物线的顶点位置时,PE的长最大,且此时PE=9;
综上可知,PE的取值范围为:3<PE≤9.
(4)
由y=-x2+2x+8,故关于x的一元二次方程x2-2x+(y-8)=0有整数解,
因此△x=4-4(y-8)=-4y+36是完全平方数,且△x=-4y+36≥0,
则y≤9,又y是一个完全平方数,
所以,y只能为0,1,4,9;
分别代入方程x²-2x+(y-8)=0,又x为整数,
解得
x=4 y=0;
x=-2 y=0;
x=1 y=9;
因此m=4、n=-2、s=1