运算律称为数学公理,是做为证明其他定理的基石,是不能被证明的,当然你也可以用其他的公理代替这些公理来推导出这些运算律,但这个只能说明他们之间相互等价,或者你可以从不承认这些公理的观点出发,那样是可以得到另外一套完整的数学体系的,而且会和我们理解的数学完全不同.比如非欧几何,就是从不承认平行公理出发,得出像两线平行,内错角不相等,三角形内角和小于180等等一系列数学结果的,如果选择的公理系统合理,那么完全可以构造出一个完全兼容的数学体系来.
更详细的讨论完全超出你的范围,那属于数学专业研究生的基础数学课程.