∵抛物线y=（x-2m）²+3m-1（m是常数）与直线y=x+1有两个交点，且这两个交点分别在抛物线对称轴的两侧，
∴当x=2m时，y＜2m+1，所以把x=2m代入解析式中得：（2m-2m）²+3m-1＜2m+1
∴m＜2，
所以m的取值范围是m＜2．
故选A．