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数学
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过抛物线x
2
=2py(p>0)的焦点作斜率为1的直线与该抛物线交于A,B两点,A,B在x轴上的正射影分别为D,C.若梯形ABCD的面积为
12
2
,则P= ___ .
人气:457 ℃ 时间:2019-11-24 21:40:03
解答
抛物线的焦点坐标为F(0,
p
2
),则过焦点斜率为1的直线方程为y=x+
p
2
,
设A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
)(x
2
>x
1
),由题意可知y
1
>0,y
2
>0
由
y=x+
p
2
x
2
=2py
,消去y得x
2
-2px-p2=0,
由韦达定理得,x
1
+x
2
=2p,x
1
x
2
=-p
2
所以梯形ABCD的面积为:S=
1
2
(y
1
+y
2
)(x
2
-x
1
)=
1
2
(x
1
+x
2
+p)(x
2
-x
1
)=
1
2
•3p
(
x
1
+
x
2
)
2
-4
x
1
x
2
=3
2
p
2
所以3
2
p
2
=12
2
,又p>0,所以p=2
故答案为2.
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