若方程AX = B有解,则B的各列向量均可由A的列向量线性表出 (X的对应列为组合系数).
于是[A|B]的列向量均可由A的列向量线性表出,得r([A|B]) ≤ r(A).
又显然r(A) ≤ r([A|B]),故r(A) = r([A|B]).
反之,若r(A) = r([A|B]).
对B的任意一个列向量b,考虑线性方程组Ax = b.
由r(A) ≤ r([A|b]) ≤ r([A|B]) = r(A),有r(A) = r([A|b]),故Ax = b有解.
以这些解为列向量依次排成矩阵X,可验证AX = B.