已知数列{an}的通项公式an=1/(n+1)², (n∈N),f(n)=(1-a1)(1-a2)…(1-an)
试通过计算f(1),f(2),f(3)的值. 推测出f(n)的值,并用数学归纳法证明
人气:251 ℃ 时间:2019-08-20 06:28:13
解答
a1=1/4f(1)=1-a1=3/4a2=1/9f(2)=3/4×8/9=2/6=1/3a3=1/16 f(3)=1/3 × 15/16=5/16.推导f(n)的值:a(n)=1/(n+1)^2设b(n)=1-a(n)=1-1/(n+1)^2=[(n+1)^2-1]/(n+1)^2=n(n+2)/(n+1)^2f(n)=b(1)×b(2)×...×b(n)=1×3/2...f(2)=3/4×8/9=2/6=1/3不是等于2/3吗?sorry,算错了,不过下面的没错a1=1/4 f(1)=1-a1=3/4a2=1/9 f(2)=3/4×8/9=2/3a3=1/16 f(3)=2/3 × 15/16=5/8推导f(n)的值:a(n)=1/(n+1)^2设b(n)=1-a(n)=1-1/(n+1)^2=[(n+1)^2-1]/(n+1)^2=n(n+2)/(n+1)^2f(n)=b(1)×b(2)×...×b(n)=1×3/2²× 2×4/3²×...× n(n+2)/(n+1)²=[3/2×4/3×5/4×6/5×...×(n+1)/n]×(n+2)/(n+1)²=(n+1)/2×(n+2)/(n+1)²=(n+2)/[2(n+1)]
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