∵已知方程x²+4ax+3a+1=0（a＞1）的两根为tanα，tanβ，∴tanα+tanβ=-4a＜0，tanα•tanβ=3a+1＞4．
∴tan（α+β）=

tanα+ tanβ

1−tanα• tanβ

=

−4a

−3a

=

4

3

，∴tanα＜0，tanβ＜0．
再由α，β∈(−

π

2

，

π

2

)，可得α，β∈(−

π

2

，0)，故

α+β

2

∈(−

π

2

，0)．
再由

4

3

=tan（α+β）=

2tan α+β 2

1−tan2 α+β 2

，解得tan

α+β

2

=-2，或 tan

α+β

2

=

1

2

 （舍去），
故选B．