首先证明幂零矩阵B=A+E的所有特征值均等于0.
这是因为B的任意特征值c有相应的特征向量,即非零向量v满足Bv=c*v.
B^m=0,所以0=(B^m)v=(c^m)*v,v非零故只有c^m=0,所以c=0.
B=A+E的特征值都为0,即B的特征多项式为λ^n.
所以A的特征多项式|λE−A|=|(λ+1)E−B|=(λ+1)^n,于是A的特征值都为-1.
而|A|等于A的全体特征值的乘积,故|A|=(-1)^n.