由柯西不等式得
[a(b+3c)+b(c+3a)+c(a+3b)][a/(b+3c)+b/(c+3a)+c/(a+3b)]≥(a+b+c)²
因此有a/(b+3c)+b/(c+3a)+c/(a+3b)≥(a+b+c)²/4(ab+bc+ac）
下面证明：(a+b+c)²/4(ab+bc+ac）≥3/4
上式等价于a²+b²+c²≥ab+bc+ac①
再由柯西不等式得(a²+b²+c²)(b²+c²+a²)≥(ab+bc+ac）²
此式子等价于①
因此①得证.即原不等式得证.