Rn内任何n+1个向量构成的nx(n+1)阶矩阵A的秩r(A)<=n. 所以矩阵A中线性无关向量的个数为
m=r(A)<=n.所以不存在n+1个线性无关向量.
下面用这一结论证明"
不存在n+1个两两正交的非零向量
反证法.
设存在n+1个两两正交的向量a0,a1,a2,.an满足
k0a0+k1a1+k2a2+.+knan=0
因为两两正交,两边同乘以aj (0<=j<=n)
得到了kj(aj)^2=0
因为aj非零向量,所以kj=0
即k0=k1=k2=.kn=0
所以,a0,a1...an是n+1个线性无关的向量,与
Rn中,不存在n+1个两两正交的非零向量.
矛盾,所以
不存在n+1个两两正交的非零向量