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数学
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已知数列{a
n
}的前n项和为S
n
,且S
n
=n-5a
n
-85,n∈N
*
(1)证明:{a
n
-1}是等比数列;
(2)求数列{a
n
}的前n项和S
n
.
人气:486 ℃ 时间:2020-03-27 09:22:05
解答
(1)证明:∵Sn=n-5an-85,n∈N*(1)
∴S
n+1
=(n+1)-5a
n+1
-85(2),
由(2)-(1)可得:a
n+1
=1-5(a
n+1
-a
n
),即:a
n+1
-1=
5
6
(a
n
-1),
从而{a
n
-1}为等比数列;
(2)由Sn=n-5an-85,n∈N*可得:a
1
=S
1
=1-5a
1
-85,即a
1
=-14,
∵数列{a
n
-1}为等比数列,且首项a
1
-1=-15,公比为
5
6
,
∴通项公式为a
n
-1=-15•
(
5
6
)
n−1
,从而a
n
=-15
•(
5
6
)
n−1
+1
,
∴
S
n
=n+75•(
5
6
)
n−1
−90
.
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