（1）选项B，设f（x）=x²，它是偶函数，f（x）的原函数是F（x）=

1

3

x3+C（C为任意常数），但F（x）并不是奇函数（除了C=0外），所以排除B．
（2）选项C，设f（x）=sin²x，但它的原函数F（x）=

1

2

x−

1

4

sin2x+C（C为任意常数）不是周期函数，所以排除C．
（3）选项D，设f（x）=x，它是R上的增函数，但它的原函数F（x）=

1

2

x2+C（C为任意常数），不是R上的增函数，所以排除D．
（4）选项A，由题意设F(x)

＝∫

x0

f(t)dt+C（C为任意常数），则F(−x)

＝∫

−x0

f(t)dt+C

令u＝−t

.

-

∫

x0

f(−u)du+C，
∴如果f（x）是奇函数，则有f（-u）=-f（u）
∴F（-x）=

∫

x0

f(u)du+C＝F(x)，选项A正确．
故选：A．