解: 二次型的矩阵 A=
1 -12
-12 -1
2 -11
|A-λE| =
1-λ -1 2
-12-λ -1
2-11-λ
c1-c3
-1-λ -1 2
02-λ -1
1+λ-11-λ
r3+r1
-1-λ -1 2
02-λ -1
0-23-λ
= (-1-λ)[(2-λ)(3-λ)-2]
= (-1-λ)(λ^2-5λ+4)
= (-1-λ)(λ-1)(λ-4).
所以A的特征值为 1,4,-1
(A-E)x=0 的基础解系为a1=(1,2,1)^T
(A-4E)x=0 的基础解系为 a2=(1,-1,1)^T
(A+E)x=0 的基础解系为a3=(1,0,-1)^T
单位化得b1=(1/√6,2/√6,1/√6)^T,b2=(1/√3,-1/√3,1/√3)^T,b3=(1/√2,0,-1/√2)^T
令P=(b1,b2,b3), 则 X=PY 为正交变换
f = y1^2 + 4y2^2 - y3^2.