根据题意知，△ABC是一个直角三角形，其面积为1．其所在球的小圆的圆心在斜边AC的中点上，设小圆的圆心为Q，
若四面体ABCD的体积的最大值，由于底面积S_△ABC不变，高最大时体积最大，
所以，DQ与面ABC垂直时体积最大，最大值为

1

3

S_△ABC×DQ=

2

3

，
即

1

3

×1×DQ=

2

3

，∴DQ=2，如图．
设球心为O，半径为R，则在直角△AQO中，
OA²=AQ²+OQ²，即R²=1²+（2-R）²，∴R=

5

4

则这个球的表面积为：S=4π（

5

4

）²=

25

4

π；
故答案为：

25

4

π．