设An为第n个圆（封闭曲线）分平面的总区域数,Bn为第n个圆与前n-1个圆相比增加的区域数,很明显新增的第n个圆最好与前面的n-1个圆的每一个圆都有2个交点,这样共有2*（n-1）个交点,也就把第n个圆周分成了2*（n-1）段,而每一段把它原来的区域分成了两份,也就是共计增加了2*（n-1）,所以Bn=2*（n-1）.
而A1=2,A2=A1+2*（2-1）= A1+2*1,A3=A2+2*（3-1）=A2+2*2,……,An=An-1+2*(n-1),把上面各式相加,两边消去A1,A2,A3……An-1,求得An=2+2*（1+2+3+……+（n-1））=2+n(n-1)=n^2-n+2.证毕!