设f(x)在[a,b]二阶可导,f'(x)>0,f''(x)>0,证明：(b-a)f(a)<∫(a->b)f(x)dx<(b-a)[f(a)-f(b)]/2
人气：389 ℃ 时间：2020-03-28 23:42:19
解答
证明：(注意：你的题目打错了)
由积分中值定理
∫(a→b)f(x)dx=(b-a)f(ξ) a<ξ又f(x)在[a,b]上二阶可导且f'(x)>0则
f(a)两边同乘以b-a得
(b-a)f(a)<(b-a)f(ξ) a<ξ又 f''(x)>0
∴ f(x)在[a,b]上为严格上凹函数
∴ f(ξ)<[f(a)+f(b)]/2 a<ξ从而
(b-a)f(ξ)<(b-a)[f(a)+f(b)]/2 a<ξ由①②③得
(b-a)f(a)<∫(a→b)f(x)dx)<(b-a)[f(a)+f(b)]/2
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