闭合导线的坐标计算（近似平差）
（湖南高速铁路职业技术学院）
一、角度闭合差的计算及调整
1.角度闭合差：
由几何关系,多边行的内角和为：∑β理 = （n-2）×180°
设实测的多边形的内角和为∑β测
由于观测误差的存在,实测值与理论值称之为角度闭合差,以fβ表示,那么：
fβ = ∑β测—∑β理
《铁路测量技术规则》规定：fβ限 = 30
式中,n—多边形的内角个数
若fβ>fβ限时,超限,数据不符合要求,分析原因后返工；
当fβ≤fβ限时,符合规范要求,可进行闭合差调整.
2.调整的原则：
由于角度观测是等精度观测,故角度闭合差调整采取平均分配的原则,
将fβ反符号平均分配到各个观测值中.即：
Vβ = ― fβ/n
式中 Vβ—— 观测角度的改正数
n —— 角度的个数
计算时,改正数取至秒位,不能整除时,将余数凑整,分配到短边夹角上,
为保证∑β测 = ∑β理的要求,∑Vβ= ― fβ
二、推算方位角
对于观测角为右角的闭合导线
α前 = α后+180°-β右
对于观测角为右角的闭合导线
α前 = α后-180°+β左
计算出来的方位角大于360°时要减掉360°,为负值时要加上360°.
【例1】有一个五边行的闭合导线,水平及数据如书中图7-8所示,试计算角度闭
合差及其调整值,以及根据起始边推算其他边的方位角.
【解】1.计算内角和：∑β测 = 540°00′36″
2.计算角度闭合差：fβ = ∑β测—∑β理= 540°00′36″- （5-2）×180°
=36″
3.平均分配角度闭合差：Vβ = ― fβ/n =36/5=7″余1″
所余1″分配在短边夹角上,则∑Vβ= 4×（-7）-8 = -36 = - fβ
4.推算各边方位角
α23=α12+180°-β2=65°17′36″+180°-135°48′59″=109°28′37″
α34=α23+180°-β3=109°28′37″+180°-84°10′29″=205°18′07″
α45=α34+180°-β4=205°18′07″+180°-108°26′29″=276°51′39″
α51=α45+180°-β5=276°51′39″+180°-121°27′59″=335°23′40″
α12=α51+180°-β1=335°23′40″+180°-90°06′04″= 65°17′36″
计算无误
三、坐标计算
1.坐标增量计算
Δx12 = D12 ×cosα12
Δy12 = D12 ×sinα12
若1点的坐标已知,则2点的坐标为：
x2=x1+Δx12
y2=y1+Δy12
坐标正算：根据已知点坐标、已知边长以及已知方位角计算待定点坐标的方法
坐标反算：根据两已知点的坐标（x1,y1）（ x2,y2）计算坐标方位角的计算方法.
α12 = arctg（Δy12/Δx12）
D12 = Δx²12 +Δy²12
2.坐标增量闭合差的计算及调整
坐标增量闭合差：由于误差的存在,观测值计算坐标增量代数和理论值的差值.
任意多边形,其纵横坐标代数和在理论上应等于零,即
∑Δx理 = 0
∑Δy理 = 0
fx =∑Δx计- ∑Δx理 =∑Δx计
fy =∑Δy计 -∑Δy理 =∑Δy计
导线全长闭合差：f = fx²+ fy²
导线越长,f值将相应增大,绝对量不能作为衡量导线精度的标准,通常用导线
全长相对误差K来表示：K=f/∑D=1/∑D/f=1/N
式中,∑D——导线边全长,一般取K≤1/2000.
增量闭合差的调整原则：以相反的符号与边长成正比例分配到各边增量中
Vxi = ―（fx/∑D）×Di
Vyi = ―（fy/∑D）×Di
改正数计算至增量计算时的最后一位（厘米或毫米）,经过改正后的增量总和应该和
理论值相等.
3.导线点坐标推算
由起始点的坐标,用调整后的坐标增量值依次推算各点的坐标.为了检查推算过
程是否出现误差,应由起点推算到终点后再继续推算起点坐标,应与已知的坐标相等.