作PM⊥y轴于M，PN⊥x轴于N，AH⊥x轴于H，如图，设P点坐标为（a，b）
把x=4代入y=

1

2

x得y=2，则A点坐标为（4，2），
把A（4，2）代入y=

k

x

得k=4×2=8，
所以反比例函数解析式为y=

8

x

，
∵点A与点B关于原点对称，点P与点Q关于原点对称，
∴OA=OB，OP=OQ，
∴四边形APBQ为平行四边形，
∴S_△OPA=

1

4

S_{平行四边形APBQ}=

1

4

×24=6，
∵S_矩形ONPM+S_梯形AHNP=S_△OPM+S_△OPA+S_△OAH，
∴8+

1

2

（2+b）（4-a）=4+6+4，
∵b=

8

a

，
∴（2+

8

a

）（4-a）=12，
整理得a²+6a-16=0，解得a₁=2，a₂=-8（舍去），
当a=2，b=

8

a

=4，
∴P点坐标为（2，4）．
同理，当四边形BQPA是平行四边形时，点P的坐标是（8，1）
故答案为（2，4）或（8，1）．