设e1,e2分别为具有公共焦点F1与F2的椭圆和双曲线的离心率,P为两曲线的一个公共点,且满足向量PF1*向量PF2=0,则(e1_数学解答

设e1,e2分别为具有公共焦点F1与F2的椭圆和双曲线的离心率,P为两曲线的一个公共点,且满足向量PF1*向量PF2=0,则(e1^2+e2^2)/(e1e2)^2的值为?

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解答

设椭圆焦半径为a1,双曲线焦半径为a2,F1F2=2c
PF1+PF2=2a1
|PF1-PF2|=2a2
F1F2=2c
因为PF1⊥PF2,由勾股定理
PF1^2+PF2^2=F1F2^2
PF1^2+PF2^2=[(PF1+PF2)^2+(PF1-PF2)^2]/2=2a1^2+2a2^2
F1F2^2=4c^2
所以
2a1^2+2a2^2=4c^2
(a1/c)^2+(a2/c)^2=2
将e1=c/a1,e2=c/a2带入,得
(1/e1)^2+(1/e2)^2=(e1^2+e2^2)/(e1e2)^2=2