其实在这里最合适最地道的形式应该是 is flying
时间状语为 next month 说明我妈妈要前往东京这一举动是发生在将来,在这用be doing的形式是使用了现在进行时表将来,在书面及口语中都是常见的表达方式.
is going to fly 和 will fly 在语法上是没有错误的,但是在这里使用时不如 is flying 自然,略显生硬
PS 四楼你这不是误导别人嘛,next month发生在将来你居然用过去式……