请教一道高数题……
若A,B均为n阶方阵,AB=O,证明,r(A)+r(B)≤n
ps.大写字母是向量
人气:445 ℃ 时间:2020-03-28 20:22:33
解答
设矩阵B与AB=0右端的零矩阵的列分块分别为
B=(β1 β2 … βn),0=(0 0 … 0),
由分块矩阵乘法,
A(β1 β2 … βn)=(0 0 … 0),(Aβ1 Aβ2 … Aβn)=(0 0 … 0)
即β1 β2 … βn(Ⅰ)是齐次方程组AX=0解向量组
若r(A)=n,则AX=0只有零解,B=0,r(B)=0=n-r(A);
若r(A)=r<n,X1,X2,…,X(n-r)(Ⅱ)是AX=0的一个基础解系,则(Ⅰ)可由(Ⅱ)线性表出,
r(Ⅰ)≤r(Ⅱ).而r(Ⅰ)=B的列秩=r(B),秩(Ⅱ)=n-r(A).
综上,r(A)+r(B)≤n
得证
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