设等腰三角形的一腰与底边的长分别是方程x2-6x+a=0的两根,当这样的三角形只有一个时,求a的取值范围.
人气:340 ℃ 时间:2020-06-04 14:54:27
解答
∵方程x2-6x+a=0有实数根,
∴△=36-4a≥0,
(1)当△=0时,即△=36-4a=0,解得a=9,此时三角形为等边三角形;
(2)当△>0,即△=36-4a>0时,解得a<9,
设两根为x1,x2(x1<x2)此时存在一个等腰三角形底边为x1,腰为x2,此时不存在一个等腰三角形底边为x2,腰为x1即最短两边(即两腰)之和不大于最大边(即底边)即2x1≤x2,
由根与系数的关系可得,3x1≤x1+x2=6,
∴x1≤2,
∵x1+x2=6,x1•x2=a,
∴a=x1•(6-x1),
=6x1-(x1)2
=-(3-x1)2+9
∴=-(3-x1)2+9≤8,
∴当0<a≤8,a=9时,三角形只有一个.
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