可用数学归纳法证明,具体如下：
原不等式为
[(2/1^4)+1][(2/2^4)+1][(2/3^4)+1]···[(2/n^4)+1]＜e^4 (n∈Z*)
两边同时乘以(1·2·3···n)^4得
(2+1^4)(2+2^4)(2+3^4)···(2+n^4)＜(e·1·2·3···n)^4 (1)
下用数学归纳法证明不等式(1)对于任意的n∈Z*成立
1°当n=1时
2+1^4=3＜16=2^4＜e^4
即2+1^4＜e^4成立
2°设当n=k（k≥1,k∈Z*）时不等式(1)成立即
(2+1^4)(2+2^4)(2+3^4)···(2+k^4)＜(e·1·2·3···k)^4
成立,则
当n=k+1时
(2+1^4)(2+2^4)(2+3^4)···(2+k^4)[2+(k+1)^4]＜[(e·1·2·3···k)^4]·[2+(k+1)^4]＜[(e·1·2·3···k)^4]·[(k+1)^4]=[e·1·2·3···k·(k+1)]^4
即当n=k+1时不等式(1)也成立
综合1°、2°可得
对于任意的n∈Z*,不等式(1)恒成立
故原不等式 [(2/1^4)+1][(2/2^4)+1][(2/3^4)+1]···[(2/n^4)+1]＜e^4对于任意的n∈Z*恒成立.