反设G是无限群,那么分两种情况：（1）如果G中有无限阶元a,那么是无限阶循环群,从而,,...,,...都是G的互不相同的子群,从而G有无限多个子群,矛盾.（2）如果G中没有无限阶元,则G中每个元素都是有限阶的,记S={|x∈G},则|S|也是有限的（否则,如果S是无穷集合,而S中每个元素都是G的子群,从而G有无限多个子群,矛盾）.注意到,G=∪S.这就是说,G是有限个有限集合的并,从而是有限的.