∵圆C过直线2x+y+4=0 和圆x²+y²+2x-4y+1=0的交点，
∴设圆C的方程为x²+y²+2x-4y+1+λ（2x+y+4）=0，
又∵原点在圆C上，
∴将原点坐标代入，得1+4λ=0，解得λ=-

1

4

，
因此圆C的方程为x²+y²+2x-4y+1-

1

4

（2x+y+4）=0，化简得x2+y2+

3

2

x−

17

4

y＝0．
故答案为：x2+y2+

3

2

x−

17

4

y＝0