f(x)在[0,1]连续,(0,1)内可导,满足f(0)=∫(0→1)e^(-x)f(x)dx,证：存在ξ∈(0,1),使得f‘(_数学解答

f(x)在[0,1]连续,(0,1)内可导,满足f(0)=∫(0→1)e^(-x)f(x)dx,证：存在ξ∈(0,1),使得f‘(ξ)=f(ξ)
若函数f(x)在闭区间[0,1]连续,在开区间(0,1)内可导且满足f(0)=∫(0→1)e^(-x)f(x)dx,求证：存在ξ∈(0,1),使得f‘(ξ)=f(ξ).

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解答

令F(x)=e^(-x)f(x)
显然满足罗尔定理的前2个条件
又
f(0)=∫(0→1)e^(-x)f(x)dx
由积分中值定理,得
存在a∈（0,1）使得
∫(0→1)e^(-x)f(x)dx=e^(-a)f(a)
即
f(0)=e^(-a)f(a)
从而
F(0)=f(0)
F(a)=e^(-a)f(a)
即
F(0)=F(a)
所以
由罗尔定理,得
存在ξ∈(0,1),
F'(ξ)=0
即f‘(ξ)=f(ξ)