A、活细胞膜的功能特性是选择透过性，如果细胞死亡，则失去选择透过性，A正确；
B、哺乳动物成熟的红细胞无核、无细胞器，故没有遗传物质，B错误；
C、只有连续进行有丝分裂的细胞才有细胞周期，成熟的细胞如神经细胞无细胞周期，C错误；
D、能进行有氧呼吸的细胞才能有氧呼吸酶，如哺乳动物成熟的红细胞进行无氧呼吸，没有此种酶，D错误．
故选：A．