当然是形容词
have a day off 基本意思就是：休息一天,放一天假.表示的是人的状态,当然是形容词,可以看例句：
The doctor will have a day off from the hospital next week.
注意到了这句话表达off后面必须加from介词才可以连接hospital吗?所以这里的off既不是介词也不是助词.
此外在off[简明英汉词典]
adj.①休息的; 闲散的; 安静的②不新鲜的
①解释已经很好说明了off在此处的词性.