设正方形ABCD的边长为2，以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，则A（-1，0），B（1，0），
∴2c=|AB|=2，c=1；
又∵C（1，2）在该双曲线上，
∴2a=|CA|-|CB|=2

2

-2，
∴a=

2

-1，
∴该双曲线的离心率e=

c

a

=

1

2 −1

=

2

+1．
故选C．