向量a=(cos πx/w,sinπx/w) b=(cosy,siny) w大于0,0≤y<2π,函数f(x)=a*b为偶函数.
求y的值
函数在(0,3)上市单调递减,当w最小时,f(1)+f(2)...+f(2010)=
人气:298 ℃ 时间:2020-04-01 06:13:51
解答
向量a=(cos πx/ω,sinπx/ω) b=(cosy,siny) ω>0,0≤y<2π,函数f(x)=a•b为偶函数.求y的值;函数在(0,3)上单调递减,当w最小时,f(1)+f(2)...+f(2010)=
(1) f(x)=a•b=cos(πx/ω)cosy+sin(πx/ω)siny=cos(πx/ω-y)
∵f(x)是偶函数,且ω>0,0≤y<2π,∴有f(-x)=cos(-πx/ω-y)=cos(y+πx/ω)=f(x)=cos(πx/ω-y)
=cos[-(y-πx/ω)]=cos(y-πx/ω),故y=0.
当y=0时,f(x)=cos(πx/ω),f(-x)=cos(-πx/ω)=cos(πx/ω)=f(x);
(2) f(x)=cos(πx/ω)的单调递减区间:由 2kπ≦πx/ω≦π+2kπ,2k≦x/ω≦1+2k,得单减区间:
2kω≦x≦ω(1+2k);要求函数f(x)在(0,3)上单调递减,故应取k=0,ω=3.
ωmin=3,从而得:f(x)=(πx/3);
由于f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)=f(π/3)+f(2π/3)+f(π)+f(4π/3)+f(5π/3)+f(2π)
=f(π/3)-f(π/3)+f(π)-f(π/3)+f(π/3)+f(2π)=f(π)+f(2π)=-1+1=0
故f(1)+f(2)+.+f(n)以6为周期,在每个周期内的值为0,而2010÷6=335,即从1到2010正好经过335个周期,∴f(1)+f(2)+...+f(2010)=0
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