1001=7×11×13
(7P+K)² = 49P² + 14PK + K²
当K=0、1、2……、6时,K²被7除余0、1、4、2、2、4、1,即只有0、1、2、4这四种余数.
(11P+K)² = 121P+22PK+K²
当K=0、1、2……、10时,K²被11除余0、1、4、9、5、3、3、5、9、4、1,即只有0、1、3、4、5、9这六种余数.
(13P+K)² = 169P+26PK+K²
当K=0、1、2……、12时,K²被13除余0、1、4、9、3、12、10、10、12、3、9、4、1,即只有0、1、3、4、9、10、12这七种余数.
综上,所得余数共有4*6*7 = 168种可能.
上述余数写成负数情况：
① 0、-3、-5、-6、-7、-10、-12、……
② 0、-2、-6、-7、-8、-10、-11、……
③0、-1、-3、-4、-9、-10、-12、
最前一项公共的是-10
因此有7*11*13-10 = 991
是完全平方数除以1001所得的余数中最大的情况.