已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率=√6/3,过右焦点的直线斜率为一,交椭圆于AB两点
若|AB|=根号3求b值.
人气:147 ℃ 时间:2019-09-22 09:25:00
解答
∵e=c/a=√6/3,∴c^2/a^2=6/9=2/3,∴(a^2-b^2)/a^2=2/3,∴1-b^2/a^2=2/3,
∴b^2/a^2=1/3,∴a^2=3b^2.
∴c^2/a^2=c^2/(3b^2)=2/3,∴c^2=2b^2,∴c=√2b.
显然,AB的方程是:y=x-c.
联立:y=x-c、x^2/a^2+y^2/b^2=1,消去y,得:x^2/a^2+(x-c)^2/b^2=1,
∴x^2/(3b^2)+(x-c)^2/b^2=1,
∴x^2+3(x-c)^2=3b^2,
∴x^2+3x^2-6cx+3c^2=3b^2,
∴4x^2-6√2x+6b^2=3b^2,
∴4x^2-6√2x+3b^2=0.
∵A、B在直线y=x-c上,∴可分别令A、B的坐标是(m,m-c)、(n,n-c).
很明显,m、n是方程4x^2-6√2x+3b^2=0的两根,
∴由韦达定理,有:m+n=3√2/2、mn=3b^2/4.
依题意,有:|AB|=√3,∴|AB|^2=3,∴(m-n)^2+[(m-c)-(n-c)]^2=3,
∴2(m-n)^2=3,∴(m-n)^2=3/2,∴(m+n)^2-4mn=3/2,
∴(3√2/2)^2-4(3b^2/4)=3/2,
∴9/2-3b^2=3/2,
∴b^2=3/2-1/2=1,
∴b=1.
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