函数f(x)=(a+1)lnx+ax*x+1,设a小于等于-2,证明任意x1,x2大于0,|f(x1)-f(x2)|大于等于4|x1-x2|
人气:211 ℃ 时间:2019-08-26 04:56:24
解答
f(x)=(a+1)lnx+ax^2+1
则f'(x)=(a+1)/x+2ax
由a<=-2,x>0得
(a+1)/x<0,2ax<0
则|f'(x)|=|(a+1)/x+2ax|=|(a+1)/x|+|2ax|>=2根号[(a+1)/x*2ax]=2根号[2(a+1)a]
而y=(a+1)a在a<=2时为减函数,ymin=(-2+1)(-2)=2
则|f'(x)|=2根号[2(a+1)a]>=2根号[2*2]=4
则有|f(x1)-f(x2)|>=4|x1-x2|成立
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