不一定.
√2、-√2都是无理数；√2+(-√2)=0,是有理数.
再如：2+√3、2-√3都是无理数,(2+√3)+(2-√3)=4,是有理数.
无理数+无理数=无理数 的例子更多,就不多举了,说一个吧：
如：5+√3,2√3 5+√3+2√3=5+3√3,是无理数.
综上可知,无理数+无理数,可能是无理数,也可能是有理数.
此类题目,不需要严谨证明,只要找个反例就可以了.