已知:a+b+c=32 (a+b-c/ac)+(a+c-b/ac)+(b+c-a/bc)=1/4 求证:长度为根号a,根号b,根号c的三条线段能构成
已知:a+b+c=32 (a+b-c/ac)+(a+c-b/ac)+(b+c-a/bc)=1/4 求证:长度为根号a,根号b,根号c的三条线段能构成一个直角三角形
人气:139 ℃ 时间:2019-10-19 20:28:33
解答
由 (a+b-c) /ac+(a+c-b/ac)+(b+c-a/bc)=1/4
两边都乘以abc,得
2(ab+bc+ac)-(a²+b²+ c²)=abc/4
-(a+b+c)²-4(ab+bc+ac)=abc/4
因为a+b+c=32
所以-32²+4(ab+bc+ac)=abc/4
-64²+16(ab+bc+ac)-abc=0
又:(16-a)(16-b)(16-c)=16³-16²(a+b+c)+16(ab+bc+ac)-abc
=16³-16²(32) +16(ab+bc+ac)-abc
=-64²+16(ab+bc+ac)-abc=0
所以(16-a)=0或(16-b)=0或(16-c)=0
以下略-(a+b+c)²-4(ab+bc+ac)=abc/4-32²+4(ab+bc+ac)=abc/4-4?+4?原输入错误,应为-(a+b+c)²+4(ab+bc+ac)=abc/4由(a+b-c) /ac+(a+c-b/ac)+(b+c-a/bc)=1/4 两边都乘以abc,得2(ab+bc+ac)-(a²+b²+ c²)=abc/4-(a+b+c)²+4(ab+bc+ac)=abc/4因为a+b+c=32 所以-32²+4(ab+bc+ac)=abc/4-64²+16(ab+bc+ac)-abc=0又:(16-a)(16-b)(16-c)=16³-16²(a+b+c)+16(ab+bc+ac)-abc=16³-16²(32)+16(ab+bc+ac)-abc =-64²+16(ab+bc+ac)-abc=0所以(16-a)=0或(16-b)=0或(16-c)=0又因为a+b+c=32 所以b+c=a=16或a+c=b=16或a+b=c=16因此命题得证!
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