高等数学求数列极限已知数列X1=根号2,Xn=根号（2+Xn-1）（n=2,3,4...）,证明该数列收敛,并求其极限._数学解答

高等数学求数列极限
已知数列X1=根号2,Xn=根号（2+Xn-1）（n=2,3,4...）,证明该数列收敛,并求其极限.

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解答

Xn=√(2+Xn-1)
两边平方得:Xn²=2+ Xn-1
Xn是递增序列,Xn-1∴Xn²<2+Xn
移项分解得：
(Xn-2)(Xn+1)<0
∴Xn<2,即Xn有极限
设其极限为A,原式两边同时取极限得：
A²=2+A
解得A=2