若k=0，则lg（kx）无意义，此时方程lg（kx）=2lg（x+1）无实根；
若k＞0，则方程lg（kx）=2lg（x+1）只有一个实数解，即
kx=（x+1）²只有一个正根，
则

2−k＜0 (2−k)2−4＝0

，
解得：a=4
若k＜0，由于方程lg（kx）=2lg（x+1）只有一个实数解，
分别作出函数y=lg（kx）和y=2lg（x+1）的图象，它们始终有一个交点，
∴方程lg（kx）=2lg（x+1）只有一个实数解，
∴k＜0符合题意．
综上满足条件的实数k的范围k＜0或k=4．
故答案为：k＜0或k=4．