设m×n是矩阵A的秩为n,证明:矩阵A＾TA为正定矩阵_数学解答

设m×n是矩阵A的秩为n,证明:矩阵A＾TA为正定矩阵

人气：369 ℃　时间：2019-12-09 18:11:49

解答

首先,因为 (A'A)' = A'(A')' = A'A,所以 A'A 是对称矩阵.
又对任一非零向量 X,由于 r(A) = n,所以 AX ≠ 0.
(否则 AX=0 有非零解)
所以 X'(A'A)X = (AX)'(AX) > 0.
所以 A'A 为正定矩阵.