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数学
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已知函数f(x)=|lgx|.若a≠b且,f(a)=f(b),则a+b的取值范围是( )
A. (1,+∞)
B. [1,+∞)
C. (2,+∞)
D. [2,+∞)
人气:236 ℃ 时间:2019-08-17 16:48:59
解答
(方法一)因为f(a)=f(b),所以|lga|=|lgb|,
不妨设0<a<b,则0<a<1<b,∴lga=-lgb,lga+lgb=0
∴lg(ab)=0
∴ab=1,
又a>0,b>0,且a≠b
∴(a+b)
2
>4ab=4
∴a+b>2
故选C.
(方法二)由对数的定义域,设0<a<b,且f(a)=f(b),得:
0<a<1
1<b
ab=1
,
整理得线性规划表达式为:
0<x<1
1<y
xy=1
,
因此问题转化为求z=x+y的取值范围问题,则z=x+y⇒y=-x+z,即求函数的截距最值.
根据导数定义,
y=
1
x
⇒y′=−
1
x
2
<−1⇒
函数图象过点(1,1)时z有最小为2(因为是开区域,所以取不到2),
∴a+b的取值范围是(2,+∞).
故选C.
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