连 CD.
∵ AD=4、BD=1
∴ AB = AD + BD = 4 + 1 = 5
∵ 以C为圆心的弧 与 AB 相切 于点D
∴ CD ⊥ AB(圆的切线垂直于过切点的半径)
∴ ∠BDC = ∠CDA=90°
∵ ∠C=90°
∴ ∠B + ∠A = 90°--------------------------------- ①
∵ CD ⊥ AB
∴ ∠B + ∠BCD = 90° ------------------------------------ ②
由 ① ② 得: ∠A= ∠BCD
在 Rt△BCD 和 Rt△CAD 中
∠BDC = ∠CDA=90° (已证)
∠A= ∠BCD (已证)
∴ Rt△BCD ∽ Rt△CAD
∴ BD:CD = CD:AD
∴CD的平方 = BD×AD
= 1×4
= 4
∴ CD=2
则 S△ABC=(1/2)×AB×CD
=(1/2)× 5× 2
=5
∵ ∠C = 90°
∴ 以C为圆心的弧 与 两直角边(BC、AC)围成的扇形的面积 S扇
等于 “ 以C为圆心、以CD长为半径的圆的面积 “的四分之一.
∴S扇= (1/4)×(π × CD的平方)
= (1/4)×(π × 2的平方)
=π
∴S阴= S△ABC-- S扇
= 5--π