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数学
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已知△ABC中,
sinA(sinB+
3
cosB)=
3
sinC
.
(I)求角A的大小;
(II)若BC=3,求△ABC周长的取值范围.
人气:458 ℃ 时间:2019-11-01 14:35:35
解答
(I)A+B+C=π
得sinC=sin(A+B)代入已知条件得
sinAsinB=
3
cosAsinB
∵sinB≠0,由此得
tanA=
3
,A=
π
3
(II)由上可知:
B+C=
2π
3
,∴
C=
2π
3
-B
由正弦定理得:
AB+AC=2R(sinB+sinC)=2
3
(sinB+sin(
2π
3
-B))
即得:
AB+AC=2
3
(
3
2
sinB+
3
2
cosB)=6sin(B+
π
6
)
∵
0<B<
2π
3
得
1
2
<sin(B+
π
6
)≤1
∴3<AB+AC≤6,
∴△ABC周长的取值范围为(6,9]
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