使得2n(n+1)(n+2)(n+3)+12可表示为2个正整数平方和的自然数n( )
A. 不存在
B. 有1个
C. 有2个
D. 有无数个
人气:132 ℃ 时间:2019-08-17 11:44:08
解答
∵2n(n+1)(n+2)(n+3)+12
=2(n2+3n)(n2+3n+2)+12,
假设n2+3n+1=t,
则t为奇数,
故令t=2k+1,
∴原式=4(2k2+2k+3).
若原式可表示为两个正整数x,y的平方和x2+y2,可知x,y均为偶数,不妨设x=2u,
y=2v,于是,有u2+v2=2k 2+2k+3=2k(k+1)+3为4p+3型,
其中P为正整数,而u2+v2不可能是4p+3型,
故满足条件的自然数n不存在.
故选:A.
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