有界不一定收敛,收敛一定有界,为什么呢
人气:227 ℃ 时间:2020-06-24 21:10:55
解答
奇数项等于-1,偶数项等于1,这个数列有界,但是不收敛,下面是收敛一定有界的证明
目的是证明收敛数列的有界性.数列{Xn}收敛到a,根据极限定义对于任意E>0,存在正整数N,当n>N,不等式/Xn-a/<E都成立,此处E可以选为1.直观地想就是当n趋于无穷的时候,Xn的值无限接近a,为了准确描述这一性质,引入了N.当n>N时,所有的Xn都有上限,都要小于E+|a|.就是Xn无限接近a,在n>N之后,所有Xn都小于a加上个正数(E).到此证明了从N开始,数列都是有界的(都小于E+|a|).下面要证明n有界不能反推收敛,举个例子,奇数项等于-1,偶数项等于1,这个数列有界,但是不收敛。cos(npi),这个数列也是有界但不收敛的。
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