Do you mind my smoking here?和
Do you mind me smoking here?
两个句子意思一样：
你介意我在这里吸烟吗?
第一句比较语法正确,
口语也有人采用第二句,
虽然（严格地说）语法不正确,是可以接受的.
希望帮到了你,
我是加拿大人,前英语老师.那 I suggest Tom′s taking this job? I suggest Tom taking this job ? 呢。这也是同一个意思吗。第一句I suggest Tom′s taking this job对，第二句：I suggest Tom taking this job虽然常见，并且意思一样，语法上是不对的。这和你的第一个例子Do you mind my smoking here?的 my smoking原则一样。