数列极限lim [(1²+2²+3²+ …+n²)/n³]（n->∞）,为什么等_数学解答

数列极限lim [(1²+2²+3²+ …+n²)/n³]（n->∞）,为什么等于1/3
我知道正确的解法是把分子通项分解,然后再除以分母n³,最后等于1/3.
想问的是,下面这样想有什么不对?
原式 lim [(1²+2²+3²+ …+n²)/n³]
= lim （1/n³+2/n³+3/n³+…+n²/n³）
= lim（0+0+0+…+0）
= 0
另外,
分子1²+2²+3²+ …+n² 和分母n³,都是不存在极限的,是两个无极限数列的除法运算,
若将n³部分,看成是 1/n³,则1/n³存在极限,即
“原式是一个无极限数列1²+2²+3²+ …+n² ,与有极限数列1/n³的乘积”
可以这么看吗?为什么不能?

人气：150 ℃　时间：2020-04-24 13:36:35

解答

晕,哪有你这样做的啊
分子应该先求和
1²+2²+3²+ …+n²
=n(n+1)(2n+1)/6
然后看最高次项系数1/3
因此极限得1/3就是想知道为什么不能这样做，想知道错在哪里了啊！！
希望可以用定理、定义等来驳斥我这个错误的做法。
就好像：
（1+2+3）/6 =1
可以分开成
（1+2+3）/6=1/6+2/6+3/6=1
为什么到了数列这里就不可以了呢？当然不能这样做
无穷个0，有可能不是0
比如极限
lim(x→0) (1+x)^(1/x)=e
x是0,结果怎么不得1呢烦恼很久的问题了，一语点醒梦中人，举的例子很棒，谢谢您的回答