（1）当y=0时，x²+2m+m²-4=0，
（x+m+2）（x+m-2）=0，x₁=-2-m，x₂=2-m．（1分）
∴A（-2-m，0），B（2-m，0）．（1分）
（2）∵一次函数y=2x+b的图象经过点B，
∴0=2（2-m）+b，
∴b=2m-4．（1分）
∴点C（0，2m-4）．（1分）
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，CD=AB=4，
∴D（-4，2m-4）．（1分）
∵点D在二次函数的图象上，
∴2m-4=16-8m+m²-4，m²-10m+16=0，m₁=2，m₂=8．（1分）  
其中m=2不符合题意，∴m的值为8．…（1分）