如图单位圆O与x轴交于M，与y轴交于N，
过M，N作y轴和x轴的平行线交于P，
则S_△OAB=S_{正方形OMPN}-S_△OMA-S_△ONB-S_△ABP
=1-

1

2

（sinθ×1）-

1

2

（cosθ×1）-

1

2

（1-sinθ）（1-cosθ）
=

1

2

-

1

2

sincosθ=

1

2

-

1

4

sin2θ
因为θ∈（0，

π

2

]，2θ∈（0，π]，
所以当2θ=π即θ=

π

2

时，sin2θ最小，
三角形的面积最大，最大面积为

1

2

．
故答案为：

π

2