试用角动量守恒定理证明“开普勒第二定律”.
人气:453 ℃ 时间:2020-03-18 08:11:38
解答
开普勒第二定律:任一行星和太阳之间的联线,在相等的时间内扫过的面积相等,即掠面速度不变.
利用角动量守恒定律证明如下.
证明:行星在太阳的引力作用下绕日运动,所以行星受到的引力对太阳的力矩为零,即行星对太阳的角动量L守恒(为常矢量).L的大小为
L=r*m*v*sinp=常数 (1)
其中p是矢径r与行星速度v的夹角.
设在足够小的dt时间内,太阳到行星的矢径r扫过的角度很小,于是在dt时间内矢径r掠过的三角形的面积为
dS=0.5*r*v*dt*sinp
则矢径r掠过的面积速度为
u=dS/dt=(0.5*r*v*dt*sinp)/dt=0.5*r*v*sinp (2)
(2)式同(1)式对比可得
L=2m*u=常数
于是u即掠面速度是常数.
由此得证:由角动量守恒,行星运动的掠面速度不变.
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