过抛物线y²=2ax(a>0)的焦点F作一直线交抛物线于P,Q两点,若线段PF与QF的长分别是m,n,则1／m+1／n=_数学解答

过抛物线y²=2ax(a>0)的焦点F作一直线交抛物线于P,Q两点,若线段PF与QF的长分别是m,n,则1／m+1／n=

人气：418 ℃　时间：2019-10-31 19:08:23

解答

1/p+1/q=2/a（可用特殊直线x=a/2 计算,此时p=a,q=a）.
不妨设p>q,抛物线准线方程L：x=-a/2,做PE⊥L于E,QH⊥L于H,L交轴于F',直线PQ交L于G,FF'=a,则
PE=PF=p
QH=QF=q
GP/PE=GQ/QH,即
GP/p=(GP+p+q)/q
GP=p(p+q)/(q-p)
GP/PE=GF/FF',即
[p(p+q)/(q-p)]/p=(p(p+q)/(q-p)]+p)/ a
(p+q)/(q-p)=1/a(p^2+pq+pq-p^2)/(q-p)
(p+q)/pq=2/a
1/p+1/q=2/a